10. Sınıf Fonksiyonlar Konu Anlatımı
Fonksiyonlar, matematikte iki küme arasındaki ilişkiyi gösteren bir kavramdır. Bir fonksiyon, bir kümenin her bir elemanını başka bir kümenin bir ve yalnız bir elemanına eşler. Bu eşleme, fonksiyonun tanım kümesi olarak adlandırılan ilk kümenin tüm elemanlarına uygulanır.
Fonksiyon Kavramı
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A’nın her bir elemanını B’nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye (kurala) A dan B ye fonksiyon denir. A dan B ye tanımlı bir f fonksiyonu f:A→B x→y=f(x) : veya f:A→B,y=f(x) biçiminde gösterilir.
Bu tanımlamadaki A kümesine f’nin tanım kümesi denir. B kümesine f’nin değer kümesi denir.
Örnek:
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} kümeleri olmak üzere,
f:A→B x→y=f(x)
x = 1 için f(x) = a
x = 2 için f(x) = b
x = 3 için f(x) = c
kuralı ile tanımlanan f fonksiyonu, A kümesinin her bir elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşlediği için bir fonksiyondur.
Fonksiyonun Tanımı ve Gösterimi
Bir fonksiyonun tanımı, f:A→B şeklinde gösterilir. Bu gösterimde,
- f, fonksiyonun adı
- A, fonksiyonun tanım kümesi
- B, fonksiyonun değer kümesi
anlamlarına gelir.
Fonksiyonun gösterimi, f:A→B x→y=f(x) : veya f:A→B,y=f(x) şeklinde de yapılabilir. Bu gösterimde,
- x, fonksiyonun tanım kümesinden bir eleman
- y, f(x) ifadesinin sonucu olarak elde edilen, değer kümesinden bir eleman
anlamlarına gelir.
Fonksiyonun Tanım Kümesi ve Değer Kümesi
Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlandığı kümedir. Bir fonksiyonun değer kümesi, fonksiyonun tanım kümesinden aldığı her bir elemanın eşlendiği kümedir.
Fonksiyonun Görüntüsü
Bir fonksiyonun tanım kümesinden aldığı her bir elemanın eşlendiği küme, fonksiyonun görüntüsü olarak adlandırılır.
Fonksiyonun Dönüşümü
Bir fonksiyonun tanım kümesinden aldığı her bir elemanın eşlendiği değeri, fonksiyonun dönüşümü olarak adlandırılır.
Fonksiyon Türleri
Fonksiyonlar, tanım kümelerinin ve değer kümelerinin özelliklerine göre çeşitli türlere ayrılır.
Gerçek Sayılar Üzerinde Fonksiyonlar
Gerçek sayılar üzerinde tanımlanan fonksiyonlar, en çok karşılaşılan fonksiyon türlerinden biridir. Gerçek sayılar üzerinde tanımlanan fonksiyonlar, tanım kümelerinin ve değer kümelerinin özelliklerine göre çeşitli alt türlere ayrılır.
- İçeriden tanımlanan fonksiyonlar: Tanım kümeleri değer kümelerinin alt kümesi olan fonksiyonlardır.
- Örtücü fonksiyonlar: Tanım kümeleri değer kümelerine eşit olan fonksiyonlardır.
- Bire bir fonksiyonlar: Her bir tanım kümesi elemanının yalnız bir değer kümesi elemanına eşlendiği fonksiyonlardır.
- Çoklu fonksiyonlar: Her bir tanım kümesi elemanının birden fazla değer kümesi elemanına eşlendiği fonksiyonlardır.
- Artan fonksiyonlar: Tanım kümesinde x1 < x2 ise f(x1) < f(x2) eşitliğini sağlayan fonksiyonlardır.
- Azalan fonksiyonlar: Tanım kümesinde x1 < x2 ise f(x1) > f(x2) eşitliğini sağlayan fonksiyonlardır.
Özel Fonksiyonlar
Gerçek sayılar üzerinde tanımlanan bazı fonksiyonlar, özel isimlerle anılır. Bu fonksiyonlardan bazıları şunlardır:
- Doğrusal fonksiyonlar: f(x) = mx + b eşitliğini sağlayan fonksiyonlardır.
- Kuvvet fonksiyonları: f(x) = axn