11. Sınıf Eşitsizlikler Konu Anlatımı
Giriş
Eşitsizlikler, bir değişkenin değerinin başka bir değişkenin değerinden küçük, büyük, eşit veya eşitsiz olduğunu belirten ifadelerdir. Eşitsizliklerin çözüm kümesi, eşitsizliğin doğru olduğu değerlerin kümesidir.
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler, bilinmeyenin birinci dereceden bir fonksiyonunun diğer bir fonksiyondan küçük, büyük, eşit veya eşitsiz olduğunu belirten ifadelerdir.
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözümü
Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü için aşağıdaki adımlar izlenir:
- Eşitsizliği ax + b ≤ c şeklinde sadeleştirin.
- a ≠ 0 ise, x = -b/a değerini yerine koyun.
- a = 0 ise, eşitsizliğin her iki tarafını da b ile bölün.
Örnek:
x + 2 ≤ 0
x + 2 – 2 ≤ 0 – 2
x ≤ -2
Çözüm kümesi: x ∈ (-∞, -2)
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler, bilinmeyenin ikinci dereceden bir fonksiyonunun diğer bir fonksiyondan küçük, büyük, eşit veya eşitsiz olduğunu belirten ifadelerdir.
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözümü
İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü için aşağıdaki adımlar izlenir:
- Eşitsizliği ax2 + bx + c ≤ 0 şeklinde sadeleştirin.
- Δ = b2 – 4ac değerini bulun.
- Δ > 0 ise, eşitsizliğin iki kökü vardır.
- Δ = 0 ise, eşitsizliğin bir kökü vardır.
- Δ < 0 ise, eşitsizliğin gerçek kökü yoktur.
Örnek:
x2 + 2x – 3 ≤ 0
(x + 3)(x – 1) ≤ 0
x + 3 ≤ 0 veya x – 1 ≥ 0
x ≤ -3 veya x ≥ 1
Çözüm kümesi: x ∈ (-∞, -3] ∪ [1, ∞)
Üçüncü ve Daha Yüksek Dereceden Eşitsizlikler
Üçüncü ve daha yüksek dereceden eşitsizliklerin çözümü için genel bir kural yoktur. Bu eşitsizliklerin çözümü için genellikle işaret tablosu kullanılır.
İşaret Tablosu
İşaret tablosu, bir fonksiyonun x ekseni boyunca işaretini gösteren bir tablodur.
Örnek:
f(x) = x3 + 2×2 – 3x + 2
f(x) = (x + 1)(x – 1)(x + 2)
x + 1 ≤ 0 veya x – 1 ≥ 0 veya x + 2 ≤ 0
x ≤ -1 veya x ≥ 1 veya x ≤ -2
x ∈ (-∞, -1] ∪ (1, ∞) ∪ (-∞, -2]
Eşitsizlik Sistemleri
Eşitsizlik sistemleri, birbirine bağlı iki veya daha fazla eşitsizlikten oluşan ifadelerdir. Eşitsizlik sistemlerinin çözümü için aşağıdaki adımlar izlenir:
- Eşitsizlikleri sadeleştirin.
- Eşitsizlik sistemindeki her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözün.
- Çözüm kümelerini birleştirin.
Örnek:
x – y ≤ 1 ve x + y ≤ 2
x ≤ y + 1 ve x ≤ -y + 2
x ≤ 1 ve x ≤ 2
x ∈ [0, 2]
Sonuç
Eşitsizlikler, matematikte önemli bir yere sahiptir. Eşitsizliklerin çözümü, çeşitli problemlerin çözümünde kullanılır.