12. Sınıf Diziler Konu Anlatımı
Diziler, matematikte belirli bir kurala göre sıralanmış sayıların oluşturduğu kümelere verilen addır. Diziler, matematikte birçok alanda kullanılmaktadır. Örneğin, seriler, doğrusal denklemler, fonksiyonlar ve olasılık teorisi gibi alanlarda diziler ile karşılaşılmaktadır.
Dizilerin Özellikleri
Bir diziyi tanımlamak için aşağıdaki özellikler kullanılır:
- Dizideki terimlerin sayısı: Dizideki terimlerin sayısı sonlu veya sonsuz olabilir. Örneğin, 1, 2, 3, 4, 5 dizisi sonlu bir dizidir. 1, 2, 3, … dizisi ise sonsuz bir dizidir.
- Dizideki terimlerin türü: Dizideki terimler gerçek sayı, karmaşık sayı, doğal sayı veya başka bir tür sayı olabilir.
- Dizideki terimlerin sırası: Dizideki terimlerin sırası önemli olabilir. Örneğin, 1, 2, 3 dizisi ile 3, 2, 1 dizisi farklı dizilerdir.
Dizilerin Türleri
Diziler, terimler arasındaki ilişkiye göre farklı türlere ayrılır.
- Aritmetik dizi: Ardışık iki terimi arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Sabit farka da dizinin ortak farkı denir.
- Geometrik dizi: Ardışık iki terimi arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Sabit orana da dizinin ortak çarpanı denir.
- Sabit dizi: Tüm terimleri aynı olan dizilere sabit dizi denir.
- Artan dizi: Terimleri sürekli olarak artan dizilere artan dizi denir.
- Azalan dizi: Terimleri sürekli olarak azalan dizilere azalan dizi denir.
Aritmetik Diziler
Aritmetik dizilerde, ardışık iki terimi arasındaki fark sabit bir değerdir. Bu sabit değere, dizinin ortak farkı denir.
Aritmetik Dizilerin Genel Terimi
a1: Dizinin ilk terimi
d: Dizinin ortak farkı
n: Dizinin terim sayısı
An = a1 + (n – 1)d
Aritmetik Dizilerin Özellikleri
- Her aritmetik dizinin genel terimi vardır.
- Aritmetik dizilerde terimler arasındaki fark sabittir.
- Aritmetik dizilerde terimlerin ortalaması, ilk terim ile son terimin aritmetik ortalamasına eşittir.
- Aritmetik dizilerde terimlerin toplamı, ilk terim ile son terimin aritmetik ortalaması ile terim sayısının çarpımına eşittir.
Aritmetik Dizilerin Örnekleri
- 1, 3, 5, 7, 9, …
- 2, 4, 6, 8, 10, …
- -1, -3, -5, -7, …
Aritmetik Dizilerin Çözümlü Soruları
- 1, 3, 5, 7, 9 dizisi için
- Genel terimi bulunuz.
- terimi bulunuz.
- 1. ve 10. terimlerin aritmetik ortalamasını bulunuz.
- 1. ve 10. terimlerin toplamını bulunuz.
- Genel terimi bulunuz.
- 2, 4, 6, 8, 10 dizisi için
- Genel terimi bulunuz.
- 5. terimi bulunuz.
- 2. ve 5. terimlerin aritmetik ortalamasını bulunuz.
- 2. ve 5. terimlerin toplamını bulunuz.
Geometrik Diziler
Geometrik dizilerde, ardışık iki terimi arasındaki oran sabit bir değerdir. Bu sabit değere, dizinin ortak çarpanı denir.
Geometrik Dizilerin Genel Terimi
a1: Dizinin ilk terimi
r: Dizinin ortak çarpanı
n: Dizinin terim sayısı
An = a1 * r^(n – 1)
Geometrik Dizilerin Özellikleri
- Her geometrik dizinin genel terimi vardır.
- Geometrik dizilerde terimler arasındaki oran sabittir.
- **Geometrik dizilerde terimlerin toplamı, ilk terim ile son terimin çarpımının (1 – ortak çarpan