10. Sınıf Matematik: Polinomlar
1. Giriş
Polinomlar, matematikte yaygın olarak kullanılan bir tür fonksiyondur. Bir değişkenli polinomlar, x değişkenine bağlı olarak x’in katsayılarıyla çarpılmış x’in doğal sayı kuvvetlerini ifade eden ifadelerdir.
2. Polinom Kavramı
Bir değişkenli polinom, an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a2 x2 + a1 x + a0 şeklindeki ifadedir. Burada,
- an, an-1, an-2, …, a1, a0 gerçek sayılar veya kompleks sayılardır.
- n bir doğal sayıdır.
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a2 x2 + a1 x + a0 ifadesinde,
- an xn ifadesi, polinomun en yüksek dereceli terimidir.
- an, polinomun en yüksek dereceli terimin katsayısıdır.
- n, polinomun derecesidir.
3. Polinom Çeşitleri
Polinomlar, derecelerine göre aşağıdaki gibi sınıflandırılır:
- Derecesi 0 olan polinomlara sabit polinomlar denir. Bu polinomların tek terimi vardır ve katsayısı gerçek veya kompleks bir sayıdır. Örneğin, P(x) = 2, Q(x) = -3, R(x) = i gibi ifadeler sabit polinomlardır.
- Derecesi 1 olan polinomlara doğrusal polinomlar denir. Bu polinomların iki terimi vardır ve en yüksek dereceli terim katsayısı 1’dir. Örneğin, P(x) = 2x, Q(x) = 3x – 1, R(x) = ix gibi ifadeler doğrusal polinomlardır.
- Derecesi 2 olan polinomlara karesel polinomlar denir. Bu polinomların üç terimi vardır ve en yüksek dereceli terim katsayısı 1’dir. Örneğin, P(x) = x2 + 2x + 1, Q(x) = 3×2 – 2x + 3, R(x) = -ix2 gibi ifadeler karesel polinomlardır.
4. Polinomlarda İşlemler
Polinomlarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılabilir.
Toplama ve Çıkarma
İki polinomun toplama ve çıkarma işlemleri, benzer terimlerin katsayılarının toplanması veya çıkarılması ile yapılır. Örneğin,
P(x) = x2 + 2x + 1
Q(x) = 3x2 - 2x + 2polinomlarının toplamı,
P(x) + Q(x) = (x2 + 2x + 1) + (3x2 - 2x + 2) = 4x2polinomudur.
Çarpma
İki polinomun çarpma işlemi, polinomların her terimini diğer polinomun tüm terimleri ile ayrı ayrı çarparak benzer terimlerin toplanması ile yapılır. Örneğin,
P(x) = x2 + 2x + 1
Q(x) = 3x2 - 2x + 2polinomlarının çarpımı,
P(x) \cdot Q(x) = (x2 + 2x + 1) \cdot (3x2 - 2x + 2) =3x4 + 6x3 - 2x3 + 4x2 - 2x2 + 2x + 2 = 3x4 + 4x3 - 4x2 + 2x + 2polinomudur.
Bölme
İki polinomun bölünmesi, bölen polinomun katsayılarının, bölünen polinomun katsayılarına göre karşılıklı çarpılması ile yapılır. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük veya eşitse, bölme işlemi sonucunda kalan terim oluşur.
Kalıntı Teoremi
Bir P(x) polinomunun, (x – a) ifadesine bölümünden elde edilen kalan, P(a) sayısına eşittir.