2. Dereceden Denklemler
Giriş
Matematikte, bir bilinmeyenli denklem, bilinmeyen bir x değişkenine bağlı olarak yazılmış bir eşitliktir. Derece, x değişkeninin en yüksek kuvvetini gösterir. Örneğin, x² + 3x + 2 = 0 denkleminin derecesi 2’dir, çünkü x değişkeninin en yüksek kuvveti x²’dir.
- dereceden bir bilinmeyenli denklem, x değişkeninin en yüksek kuvveti x² olan bir denklemdir. Bu tür denklemler, genel olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir:
ax² + bx + c = 0
burada a, b ve c reel sayılardır ve a ≠ 0.
2. Dereceden Denklemlerin Kökleri
Bir denklemin kökleri, o denklemi sağlayan x değerleridir. 2. dereceden bir denklemin kökleri, denklemin aşağıdaki formül ile hesaplanabilir:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Bu formülde,
- x: Kök
- a: Denklemin birinci katsayısı
- b: Denklemin ikinci katsayısı
- c: Denklemin üçüncü katsayısı
2. Dereceden Denklemlerin Çözüm Kümesi
Bir denklemin çözüm kümesi, o denklemi sağlayan x değerlerinin kümesidir. 2. dereceden bir denklemin çözüm kümesi, denklemin köklerinin oluşturduğu kümedir.
- dereceden denklemlerin çözüm kümesi, denklemin katsayılarına göre aşağıdaki şekilde sınıflandırılabilir:
- D > 0 ise, denklemin iki farklı reel kökü vardır.
- D = 0 ise, denklemin birbirine eşit iki reel kökü vardır.
- D < 0 ise, denklemin reel kökü yoktur.
D > 0 ise, denklemin iki farklı reel kökü vardır. Bu durumda, denklemin kökleri, denklemin katsayılarından elde edilen aşağıdaki formül ile hesaplanabilir:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Örneğin,
x² + 2x + 1 = 0
denkleminin katsayıları a = 1, b = 2 ve c = 1’dir. Bu denklemin köklerini bulmak için, yukarıdaki formülden yararlanabiliriz:
x = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * 1)) / 2 * 1
x = (-2 ± √(0)) / 2
x = (-2 ± 0) / 2
x = -1
x = -1
Bu durumda, denklemin kökleri x = -1 ve x = -1’dir.
D = 0 ise, denklemin birbirine eşit iki reel kökü vardır. Bu durumda, denklemin kökleri, denklemin katsayılarından elde edilen aşağıdaki formül ile hesaplanabilir:
x = (-b / 2a)
Örneğin,
x² + 2x = 0
denkleminin katsayıları a = 1, b = 2 ve c = 0’dır. Bu denklemin köklerini bulmak için, yukarıdaki formülden yararlanabiliriz:
x = (-2 / 2 * 1)
x = -1
Bu durumda, denklemin kökleri x = -1 ve x = -1’dir.
D < 0 ise, denklemin reel kökü yoktur. Bu durumda, denklemin kökleri, kompleks sayılardır.
2. Dereceden Denklemlerin Uygulamaları
- dereceden denklemler, matematikte ve fen bilimlerinde birçok alanda kullanılmaktadır. Örneğin,
- Parabollerin formülleri, 2. dereceden denklemler kullanılarak yazılabilir.
- Basit harmonik hareket, 2. dereceden denklemler kullanılarak tanımlanabilir.
- Bir cismin düşüşüne ilişkin denklemler, 2. dereceden denklem