10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı: Polinomlar
Giriş
Polinomlar, matematikte yaygın olarak kullanılan bir kavramdır. Bir değişkenli polinomlar, bir değişkenin ve o değişkenin kuvvetlerinin çarpımı şeklinde ifade edilen ifadelerdir. Örneğin, x^2 + 2x + 3 bir polinomdur. Polinomlar, matematikte birçok farklı alanda kullanılır. Örneğin, denklem çözümlemede, grafik çizmede ve fonksiyonlarla ilgili hesaplamalarda polinomlardan yararlanılır.
Polinomların Tanımı
Bir değişkenli polinomlar, anx^n + an-1x^(n-1) + ... + a1x + a0 şeklinde ifade edilen ifadelerdir. Burada, n polinomun derecesidir. an katsayısı, x^n terimindeki katsayıdır. an-1 katsayısı, x^(n-1) terimindeki katsayıdır ve bu şekilde devam eder. a1 katsayısı, x terimindeki katsayıdır ve a0 katsayısı, sabit terimdir.
Örneğin, x^2 + 2x + 3 polinomunun derecesi 2’dir. Bu polinomda, a2 = 1, a1 = 2 ve a0 = 3 değerleri vardır.
Polinomların Eşitliği
İki polinomun eşit olması için, her dereceli terimlerinin katsayılarının eşit olması gerekir. Örneğin, x^2 + 2x + 3 ve 2x^2 + 4x + 6 polinomları eşit değildir. Çünkü, x^2 dereceli terimlerinin katsayıları farklıdır.
Polinomlarda Toplama ve Çıkarma
İki polinomu toplamak veya çıkarmak için, aynı dereceli terimlerin katsayılarını toplamak veya çıkarmak gerekir. Örneğin, x^2 + 2x + 3 ve 2x + 4 polinomlarını toplayalım.
(x^2 + 2x + 3) + (2x + 4) =
x^2 + 2x + 3 + 2x + 4 =
x^2 + 4x + 7Polinomlarda Çarpma
İki polinomu çarpmak için, her bir polinomun her bir terimini, diğer polinomun tüm terimleri ile ayrı ayrı çarpmak gerekir. Örneğin, x^2 + 2x + 3 ve x + 2 polinomlarını çarpalım.
(x^2 + 2x + 3)(x + 2) =
x^2(x) + x^2(2) + 2x(x) + 2x(2) + 3(x) + 3(2) =
x^3 + 2x^2 + 2x^2 + 4x + 3x + 6 =
x^3 + 4x^2 + 7x + 6Polinomlarda Bölme
Bir polinomu başka bir polinoma bölmek için, bölen polinomun sıfırdan farklı bir kökü (sıfır noktası) bulunur. Bu kök, bölünen polinomun da bir köküdür. Bölünen polinom, bu köke göre genişletilerek, bölen polinom ile çarpılır. Elde edilen ifadenin katsayılarından kalan, bölünen polinomun bölen polinoma göre kalanı olur.
Örneğin, x^2 + 2x + 3 polinomunu x - 1 polinomuna bölelim.
x^2 + 2x + 3 / x - 1 =
(x^2 + 2x + 1) / x - 1 + 2 / x - 1 =
(x + 1)^2 / x - 1 + 2 / x - 1 =
(x + 1)^2 - 2(x - 1) / x - 1 =
x^2 + 2x + 1 - 2x + 2 / x - 1 =
x^2 + 4 / x - 1Polinomların Dereceleri
Bir polinomun derecesi, en yüksek dereceli terimdeki katsay