Olasılık Konu Anlatımı
1. Giriş
Olasılık, bir olayın olma durumunu matematiksel olarak ifade eden bir kavramdır. Bir olayın olma olasılığı, o olayın gerçekleşmesi için uygun olan durumların, tüm olası durumların oranı olarak tanımlanır.
Olasılık, günlük hayatımızda birçok alanda karşımıza çıkar. Örneğin, bir oyunda zar atarken, bir sınavda soru çözerken, bir hava tahmini yaparken veya bir yatırım yaparken olasılık kavramını kullanırız.
2. Örnek Olaylar
Olasılık kavramının anlaşılması için öncelikle bazı örnek olaylar üzerinde düşünmek gerekir. Örneğin, bir zar atıldığında 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 gelme olasılığı nedir? Bu soruya cevap verebilmek için öncelikle zar atıldığında hangi sayıların gelme olasılığının olduğunu bulmamız gerekir. Zar atıldığında 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 gelme olasılığı 1’dir. Çünkü zar atıldığında bu sayılardan herhangi birinin gelme olasılığı vardır.
Bir başka örnek olarak, bir madeni para atıldığında tura veya yazı gelme olasılığı nedir? Bu soruya cevap verebilmek için öncelikle madeni para atıldığında hangi durumların olabileceğini bulmamız gerekir. Madeni para atıldığında tura veya yazı gelme olasılığı 1/2’dir. Çünkü madeni para atıldığında bu iki durumdan biri gerçekleşir.
3. Olaylar
Olasılık kavramının anlaşılması için öncelikle olayların ne olduğunu bilmemiz gerekir. Matematikte, bir olayın gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi sonucunu belirleyen her şey bir olay olarak kabul edilir.
Olaylar, gerçekleşme durumlarına göre ikiye ayrılır:
- Olası olaylar: Gerçekleşme olasılığı olan olaylardır. Örneğin, zar atıldığında 1 gelme olasılığı bir olası olaydır.
- Olası olmayan olaylar: Gerçekleşme olasılığı olmayan olaylardır. Örneğin, zar atıldığında 7 gelme olasılığı bir olası olmayan olaydır.
4. Olasılık Uzayı
Bir olayın gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi sonucunu belirleyen tüm durumların oluşturduğu küme olasılık uzayı olarak adlandırılır.
Örneğin, zar atıldığında olasılık uzayı aşağıdaki gibidir:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Bu kümedeki her bir durum, zar atıldığında ortaya çıkabilecek bir olası durumu temsil eder.
5. Klasik Olasılık
Bir olayın olasılığını hesaplamak için kullanılan yöntemlerden biri klasik olasılıktır. Klasik olasılık, bir olayın olasılığını, o olayın gerçekleşmesi için uygun olan durumların, tüm olası durumların oranı olarak hesaplar.
Örneğin, zar atıldığında 1 gelme olasılığını klasik olasılık kullanarak hesaplamak için aşağıdaki adımları takip ederiz:
- Zar atıldığında 1 gelme olasılığı için uygun olan durumların sayısını bulalım. Bu durum sadece bir tanedir: 1.
- Zar atıldığında tüm olası durumların sayısını bulalım. Bu durum 6 tanedir: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- Bulduğumuz iki sayıyı oranlayalım.
P(1) = 1/6Yani, zar atıldığında 1 gelme olasılığı 1/6’dır.
6. Koşullu Olasılık
Bir olayın olasılığını, başka bir olayın gerçekleşmesi şartına bağlı olarak hesaplamak için kullanılan yönteme koşullu olasılık denir.
Örneğin, bir zar atıldığında 1 gelme olasılığını, zar atıldığında tura gelme şartına bağlı olarak hesaplamak için aşağıdaki adımları takip ederiz:
- Zar atıldığında 1 gelme ve tura gelme olasılığını bulalım. Bu durumlar için uygun olan durumlar sırasıyla {1} ve {1, 3, 5}’tir.
- Bu iki durumu çarpalım.
P(1|tura) = P(1 ∩ tura)/P(tura)P(1|tura) = (1/6)/(3/6)P(1|tura) = 1/3Yani, zar atıldığında 1 gelme olasılığı, zar atıldığında tura gelme şartına bağlı olarak 1/3’tür.
7. Bağımsız Olaylar
Bir olayın gerçekleşmesi, başka bir olayın gerçekleşmesini etkilemiyorsa