Ark Uzunluğu
Ark uzunluğu, bir eğrinin iki nokta arasındaki uzunluğudur. Eğri düz bir çizgi değilse, ark uzunluğu düz bir çizginin uzunluğundan daha büyük olacaktır. Ark uzunluğu, eğrinin eğriliğini ve iki nokta arasındaki mesafeyi dikkate alarak hesaplanabilir.
Ark Uzunluğunun Hesaplanması
Ark uzunluğu, aşağıdaki formülle hesaplanabilir:
s = ∫√(1 + (dy/dx)^2) dx
Burada,
- s, ark uzunluğudur.
- x, eğrinin x-koordinatıdır.
- y, eğrinin y-koordinatıdır.
- dy/dx, eğrinin eğimidir.
Bu formül, eğrinin eğiminin sürekli olduğu durumlarda kullanılabilir. Eğrinin eğimi sürekli değilse, ark uzunluğu parçalara bölünerek hesaplanabilir.
Örnek
Aşağıdaki eğrinin (0, 0) ve (1, 1) noktaları arasındaki ark uzunluğunu hesaplayalım:
y = x^2
Bu eğrinin eğimi,
dy/dx = 2x
dir. Bu nedenle, ark uzunluğu,
s = ∫√(1 + (2x)^2) dx
olarak hesaplanabilir. Bu integralin sonucu,
s = (1/2)sinh(2x) + C
dir. Burada, C bir sabittir. C sabitini belirlemek için, eğrinin (0, 0) noktasından geçtiğini kullanabiliriz. Bu durumda,
s(0) = 0
olmalıdır. Bu nedenle,
C = -sinh(0) = 0
olmalıdır. Bu nedenle, ark uzunluğu,
s = (1/2)sinh(2x)
olarak hesaplanır. (0, 0) ve (1, 1) noktaları arasındaki ark uzunluğu,
s = (1/2)sinh(2) ≈ 1.18
olarak hesaplanır.
Faydalı Siteler ve İlgili Dosyalar