Sandviç Teoremi Kanıtı
Sandviç teoremi, iki fonksiyonun grafikleri arasında kalan bir fonksiyonun limitinin, iki fonksiyonun limitlerinin ortalamasına eşit olduğunu belirten bir matematik teoremidir. Bu teorem, limitlerin hesaplanmasında ve süreklilik ve türevlenebilirlik gibi kavramların anlaşılmasında önemli bir rol oynar.
Teorem:
Eğer $f(x)$, $g(x)$ ve $h(x)$ üç gerçek değerli fonksiyon ise ve $a$ bir reel sayı ise,
- $f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ tüm $x > a$ için,
- $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L$,
o zaman $\lim_{x \to a} h(x) = L$.
Kanıt:
Varsayalım ki $\lim_{x \to a} h(x) \neq L$. Bu durumda, $\epsilon > 0$ için öyle bir $\delta > 0$ vardır ki,
$$0 < |x – a| < \delta \quad \Rightarrow \quad |h(x) – L| > \epsilon.$$
Ancak, $f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ olduğundan,
$$|f(x) – L| \leq |h(x) – L| \leq |g(x) – L|.$$
Bu nedenle,
$$0 < |x – a| < \delta \quad \Rightarrow \quad |f(x) – L| > \epsilon \quad \text{ve} \quad |g(x) – L| > \epsilon.$$
Bu, $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ve $\lim_{x \to a} g(x) = L$ ile çelişmektedir. Dolayısıyla, $\lim_{x \to a} h(x) = L$ olmalıdır.
Örnek:
$f(x) = x^2 – 1$ ve $g(x) = x^2 + 1$ olmak üzere,
$$x^2 – 1 \leq x^2 \leq x^2 + 1 \quad \text{tüm} \quad x \in \mathbb{R}$$
ve
$$\lim_{x \to 0} (x^2 – 1) = \lim_{x \to 0} (x^2 + 1) = 0.$$
Sandviç teoremine göre,
$$\lim_{x \to 0} x^2 = 0.$$
Faydalı Siteler:
İlgili Dosyalar: