Türev
Türev, bir fonksiyonun değişkenine göre değişim oranını ölçen matematiksel bir kavramdır. Türev, bir fonksiyonun eğimini ve eğriliğinin yönünü belirlemek için kullanılır. Türev, ayrıca, bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini bulmak, eğri altındaki alanı hesaplamak ve diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılır.
Türev Nasıl Hesaplanır?
Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun değişkenine göre değişim oranıdır. Değişim oranı, bir fonksiyonun iki farklı değer arasındaki farkının, bu iki değer arasındaki farkına bölümü olarak hesaplanır.
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$
Burada, f(x) türevi alınacak fonksiyon, h ise değişkenin artış miktarıdır.
Türev Kuralları
Türev hesaplamak için kullanılabilecek birçok kural vardır. Bu kurallar, türev alma işlemini daha kolay ve hızlı hale getirir.
- Toplam ve Çıkarma Kuralı: İki fonksiyonun toplamının veya farkının türevi, bu iki fonksiyonun türevlerinin toplamı veya farkıdır.
$$(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$$
$$(f-g)'(x) = f'(x) – g'(x)$$
- Çarpım Kuralı: İki fonksiyonun çarpımının türevi, bu iki fonksiyonun türevlerinin çarpımı artı birinci fonksiyonun türevi ile ikinci fonksiyonun çarpımıdır.
$$(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
- Bölüm Kuralı: İki fonksiyonun bölümünün türevi, payın türevi ile paydanın türevinin çarpımı eksi pay ile paydanın türevinin çarpımıdır, paydanın karesi ile bölünür.
$$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$
- Zincir Kuralı: Bir fonksiyonun başka bir fonksiyonun bileşimi olması durumunda, türev, iç fonksiyonun türevi ile dış fonksiyonun türevinin çarpımıdır.
$$(f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)$$
Türev Uygulamaları
Türev, matematiğin birçok alanında kullanılır. Türevin en önemli uygulamalarından bazıları şunlardır:
-
Eğim ve Eğrilik: Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun eğimini ve eğriliğinin yönünü belirlemek için kullanılır.
-
Maksimum ve Minimum Değerler: Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için kullanılır.
-
Eğri Altındaki Alan: Bir fonksiyonun türevi, eğri altındaki alanı hesaplamak için kullanılır.
-
Diferansiyel Denklemler: Türev, diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılır.
Faydalı Siteler ve İlgili Dosyalar